可导是连续的什么条件

在实数域上，一个函数在某点可导的条件是函数在该点处的左极限和右极限存在且相等。而连续函数的定义是函数在每个连续点处的极限等于函数在该点的值。

因此，我们可以得出可导函数是连续的一个必要条件：函数在可导点处必须连续。

这一条件的证明可以通过标准极限定义：设函数f在实数a处可导，即：

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在

那么我们要证明的是：

$\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$

我们可以将上式进行变形，得到：

$\lim_{x\to a}f(x) - f(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$

由于上式的右边是一个不定型，我们可以将其转化为等价形式，即：

$\lim_{x\to a}f(x) - f(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \lim_{x\to a} (x-a)$

根据可导函数的定义，我们知道：

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在且有限

同时，也知道：

$\lim_{x\to a} (x-a) = 0$

因此，根据极限的性质，上式的等号右边等于0。所以，我们得到：

$\lim_{x\to a}f(x) - f(a) = 0$

即：

$\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$

这就证明了可导的函数必须是连续的。

需要注意的是，连续函数并不一定是可导的。例如，在$x=0$处，定义函数

$f(x) = \begin{cases}

x^2， & x\neq 0 \\

0， & x = 0

\end{cases}$

这个函数在$x=0$处连续，但它在该处的导数并不存在。因此，可导是连续的一个必要条件，但它并不是充分条件。